Level 1 - Quantitative Method - Probability Distribution

Probability Distribution

Discrete Random Variable vs. Continuous Random Variable

- Discrete 指 observations 的可能性有限，例如(1, 2, 3, 4, … 10)，假設 probability 相同，每個數字可能性為1/10

  ※Limited outcome, equal probability à Discrete Uniform Random Variable

-  Continuous 指observations 的 range 中，可以有限個小數位，所以每一個observation的probability = 1/∞ à approximate = 0。

Binomial Distribution

重覆只有兩個outcome的event，e.g.擲銀仔
Example:

        假設擲銀仔，”公”的probability = 0.4，”字”的probability = 0.6，擲7次:

a.      Expected value of ”公”:

P(公) * n à 0.4 * 7 = 2.8

抽7次預計會有8 個”公”

b.      抽中exactly 4個”公”的probability



Confidence Interval

% of observation within specific range，some critical values:

- 90% confidence interval à mean ± 1.65 S.D.
- 95% confidence interval à mean ± 1.96 S.D.
- 99% confidence interval à mean ± 2.58 S.D.
- Within ± 1 S.D. à 68% confidence interval
- Within ± 2 S.D. à Approximate 95% confidence interval

Standard Normal Distribution

Features:

- Mean, median, mode = 0
- 50% below 0, 50% above 0 à symmetric
- S.D.作為量度距離的 measure
- No skewness and kurtosis = 3
- Tail 會不斷向 +ve 及 -ve 伸展 à getting thin and infinite

有了這個 assumption，量度 observation 與 mean 的距離，可計算出 > 或 < 某 value 或 within a range 的 probability

Using Z table to find probability

1.      轉 observation 變成一個 Standardize value à Z

 Z = (observation – mean)/S.D.

2.      查表：

a.      N(Z) for Z >= 0

量度(1-upper tail) 的 area/probability

※Total area = 1，因為已包含所有的可能性

b.      N(Z) for Z <=0

量度 lower tail 的 area

※一般考試都不用查表，題目大多都已把表上的 valu e提供

3.      Application

a.      求(1 – tail)的size，e.g. observation above -Z or below +Z à table (a)

b.      求tail size，e.g. observation >= +Z or <= -Z à table (b)

c.       求range，e.g. – Z <= observation <= Z à 用table (b)計兩條tail size à 1 – 2 tails