Level 1 - Quantitative Method - Hypothesis Testing

Hypothesis Testing

Null and Alternative Hypothesis

- Null (Ho): 希望被推翻的立論

- Alternative (H_A): 希望成立的立論

 

General Process of Testing

1.      Define one or two tail test:

-          Two tail : H₀: x = 0, H_A: x ≠ 0

-          One tail : H₀: x >= 0, H_A: x < 0

2.      決定test statistics:

假設要test的是population mean是否等於0

è Test statistics = (sample value – hypothesized value)/S.D. or S.E.

3.      決定level of significance and its critical value (normal distribution)

Level of significance	One tail	Two tail
1%	2.33	2.58
5%	1.65	1.96
10%	1.28	1.65

 4.      比較 test statistics及critical value決定是否能reject null hypothesis

Error and Power of Test

Type 1 Error:

錯誤地 reject 了真的 null hypothesis，level of significance愈大，錯的機會愈大

Type 2 Error:

Reject 不到錯的 null hypothesis

Power of Test:

正確地 reject 了錯的 null hypothesis 的機會率

P value:

Level of significant 要達到幾大，才可將 reject到 null hypothesis, e.g.:

In a two tail test, the observation is 1 S.D. from the mean, critical value indicates there’s 68% chance在 ± 1 S.D.中，所以 level of significance 要 32% 或以上才可 reject 到 null hypothesis

Typical test in exam

考試主要focus on testing observation (population mean) 是否在某一個range，> 或 < 某數值，然後再用sample size，population variance known or not而決定使用T or Z statistics，最後make decision on reject or not

 

Other tests

考試中，一般都不會問及以下test的計算方法，只要大概知道一下，就可以了

1.      Difference in Mean test

-          Test 兩個 population 的 mean 是否一樣或是否相差一個指定的數值

-          Use T statistics

2.      Paired Comparison test

-          Test 兩個 population 是否 independent

-          Use T statistics

3.      Difference in Variance test

a.      Test sample 與 population 的 variance 是否一樣 à use Chi square (X²) statistics

b.      Test 兩個 population 的 variance 是否一樣 à use F statistics

Level 1 - Quantitative Method - Sampling and Estimation

Sampling and Estimation

 

Standard Error

-     不同 sample 計出來的 sample mean 及 population mean 都會有偏差的，利用這些 sample mean去產生一個 Distribution，所計出來的S.D.àStandard Error (S.E.)

 

               S.E. = S.D./n^1/2 

-          Use population S.D., if N/A à use sample S.D.

-          Sample size愈大 à SE 愈小

Confidence Interval Estimation

-  在某個 % 的信心之下，一個observation/population mean的range

※Degree of Confidence = 1 – Level of Significance

-  Confidence interval = Point Estimate ± Reliability Factor * SD or SE

   ※Use S.E. when estimating population mean

       Use S.D. when estimating observations

-   Reliability Factor:

1. Z value: Z table, assume standard normal distribution, e.g. 95% two tail à1.96
2. T value: T table, 用degree of freedom (n-1)及confidence level 去查表

T Distribution

For sample，可能會有及生偏差，所以需要一個較保守的的distribution

Characteristics of T distribution:

-          Less peak à 較少central tendency

-          Fatter tail à 較多extreme value

-          Sample size increase à more peaked and thin tail à approach normal distribution

Decision rule of Z or T

Safe First Criterion

找出最低機會低於 lowest acceptable return (threshold return)的機會:

(expected return – threshold return)/S.D.

à愈大，代表 mean/expected return 與 threshold return距離愈大，較少機會低於 threshold return

 

Lognormal and Normal

假設 asset return 是 normally distributed，return 可以+ve及-ve，但 asset price 只可以是+ve，lognormal distribution就是將 return 變成一個price multiple (e^R)，distribution 由 0 開始及 positively skewed



Level 1 - Quantitative Method - Probability Distribution

Probability Distribution

Discrete Random Variable vs. Continuous Random Variable

- Discrete 指 observations 的可能性有限，例如(1, 2, 3, 4, … 10)，假設 probability 相同，每個數字可能性為1/10

  ※Limited outcome, equal probability à Discrete Uniform Random Variable

-  Continuous 指observations 的 range 中，可以有限個小數位，所以每一個observation的probability = 1/∞ à approximate = 0。

Binomial Distribution

重覆只有兩個outcome的event，e.g.擲銀仔
Example:

        假設擲銀仔，”公”的probability = 0.4，”字”的probability = 0.6，擲7次:

a.      Expected value of ”公”:

P(公) * n à 0.4 * 7 = 2.8

抽7次預計會有8 個”公”

b.      抽中exactly 4個”公”的probability



Confidence Interval

% of observation within specific range，some critical values:

- 90% confidence interval à mean ± 1.65 S.D.
- 95% confidence interval à mean ± 1.96 S.D.
- 99% confidence interval à mean ± 2.58 S.D.
- Within ± 1 S.D. à 68% confidence interval
- Within ± 2 S.D. à Approximate 95% confidence interval

Standard Normal Distribution

Features:

- Mean, median, mode = 0
- 50% below 0, 50% above 0 à symmetric
- S.D.作為量度距離的 measure
- No skewness and kurtosis = 3
- Tail 會不斷向 +ve 及 -ve 伸展 à getting thin and infinite

有了這個 assumption，量度 observation 與 mean 的距離，可計算出 > 或 < 某 value 或 within a range 的 probability

Using Z table to find probability

1.      轉 observation 變成一個 Standardize value à Z

 Z = (observation – mean)/S.D.

2.      查表：

a.      N(Z) for Z >= 0

量度(1-upper tail) 的 area/probability

※Total area = 1，因為已包含所有的可能性

b.      N(Z) for Z <=0

量度 lower tail 的 area

※一般考試都不用查表，題目大多都已把表上的 valu e提供

3.      Application

a.      求(1 – tail)的size，e.g. observation above -Z or below +Z à table (a)

b.      求tail size，e.g. observation >= +Z or <= -Z à table (b)

c.       求range，e.g. – Z <= observation <= Z à 用table (b)計兩條tail size à 1 – 2 tails